Một người quan sát ở đài hải đăng cao \(149\,\,{\rm{m}}\) so với mực nước biển nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống đất là \(27^\circ .\) Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Gọi \(x\) là số lượng khách đăng ký thêm, \(x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}.\)

Khi đó, tổng số khách sẽ là \(80 + x\) (khách).

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: \[5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000 \cdot 1\] đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm \(x\) người thì giá chuyến du lịch còn lại là: \[5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x\] đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

\(T = \left( {80 + x} \right)\left( {5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x} \right) = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right)\) (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T.\)

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) vào biểu thức \(T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right),\) ta được:

\[T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right) \le 20\,\,000 \cdot {\left( {\frac{{80 + x + 100 - x}}{2}} \right)^2} = 648\,\,000\,\,000\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[80 + x = 100 - x\] hay \[x = 10\].

a) \[2x\left( {3x - 1} \right) = \left( {3x - 1} \right)\]

 \(2x\left( {3x - 1} \right) - \left( {3x - 1} \right) = 0\)

         \(\left( {3x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(3x - 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{3}\) và \(x = \frac{1}{2}\).