PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

a) Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi ;{\rm{ }}\sin \alpha  =  - \frac{{12}}{{13}}\]. Tính giá trị lượng giác \[\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\] .

b) Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình \({x_1}\left( t \right) = 2\sqrt 3 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\) và \({x_2}\left( t \right) = 2\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\). Chứng tỏ rằng phương trình dao động tổng hợp của vật đó \(x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)\) viết được dưới dạng \[x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\], tức là dao động tổng hợp của vật đó là dao động điều hòa. Hãy xác định biên độ \(A\), tần số góc \(\omega \) và pha ban đầu \(\varphi {\rm{  }}\left( { - \pi  < \varphi  < \pi } \right)\) của dao động tổng hợp.

a) Vì \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \alpha \]\[\] nên \[\cos \alpha  > 0\].

Ta có: \[{\sin ^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\].

Suy ra: \[\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \frac{5}{{13}}\].

Vậy \[cos\left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha  - \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha  = \frac{{5 + 12\sqrt 3 }}{{26}}\].

b) Ta có

\[\begin{array}{l}x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right) = 2\sqrt 3 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\\{\rm{                               }} = 4\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\\{\rm{                               }} = 4\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\]

 \[x\left( t \right) = 4\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\] có dạng \[x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\] do đó \(A = 4,\omega  = 4\pi ,\varphi  = \frac{\pi }{3}\)