Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\).

a) Vì \({x^2} + 1 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

b) Thay \(x =  - 1\) vào hàm số ta có \({\log _5}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}2 > 0\).

Do đó \(x =  - 1\) không là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).

c) \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} - x + 7\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

d) \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _5}5 = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\)\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 4x + m\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 5 - m = 0\).

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4\left( {5 - m} \right) > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\5 - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m < 5\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left( {4;5} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.