Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = - 5\] và \[d = 3.\] Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

a) \(\lim {\mkern 1mu} \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = \lim \,\,n\left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right)\).

Vì \[\lim \,\,n = + \infty \] và \[\lim \left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right) = 2 - 3 = - 1 < 0\].

Từ đó ta có \[\lim \,\left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = - \infty \].

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}} = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{(\sqrt {x + 1} - 2)(\sqrt {x + 1} + 2)}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{x - 3}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{(3 - x)(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \frac{{ - 1}}{{(3 + 3)(\sqrt {3 + 1} + 2)}} = - \frac{1}{{24}}\].

c) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \) hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;6} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = f\left( 0 \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} = f\left( 6 \right)\).

Ta cóvà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} \right) = 1 + m = f\left( 6 \right)\).

Khi \[x \in \left[ {0;4} \right]\] thì \[f\left( x \right) = \sqrt x \] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).

Khi \[x \in \left( {4;6} \right]\] thì \[f\left( x \right) = 1 + m\] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {4;6} \right)\).

Vậy, hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại diểm \(x = 4\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow m + 1 = \sqrt 4 \Leftrightarrow m = 1\).

Gọi \({u_n}\) là mức lương của quý thứ n làm việc cho công ty.

Khi đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 13,5\) và công sai d = 0,5 \( \Rightarrow \) \({u_{n + 1}} = {u_n} + 0,5\,\,\,(n \ge 1)\).

Một năm có 4 quý nên 3 năm có tổng 12 quý. Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Vậy tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là:

\({S_{12}} = \frac{{12\left[ {2.13,5 + 11.0.5} \right]}}{2} = 195\) ( triệu đồng).