Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là \(13,5\) triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm \(500.000\) đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

a) \(\lim {\mkern 1mu} \left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = \lim \,\,n\left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right)\).

Vì \[\lim \,\,n = + \infty \] và \[\lim \left( {\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - 3} \right) = 2 - 3 = - 1 < 0\].

Từ đó ta có \[\lim \,\left( {\sqrt {4{n^2} + 1} - 3n} \right) = - \infty \].

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}} = \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{(\sqrt {x + 1} - 2)(\sqrt {x + 1} + 2)}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{x - 3}}{{(9 - {x^2})(\sqrt {x + 1} + 2)}}\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{(3 - x)(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{(3 + x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}\] \[ = \frac{{ - 1}}{{(3 + 3)(\sqrt {3 + 1} + 2)}} = - \frac{1}{{24}}\].

c) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \) hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;6} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = f\left( 0 \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} = f\left( 6 \right)\).

Ta cóvà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} \right) = 1 + m = f\left( 6 \right)\).

Khi \[x \in \left[ {0;4} \right]\] thì \[f\left( x \right) = \sqrt x \] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\).

Khi \[x \in \left( {4;6} \right]\] thì \[f\left( x \right) = 1 + m\] nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {4;6} \right)\).

Vậy, hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;6} \right] \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại diểm \(x = 4\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow m + 1 = \sqrt 4 \Leftrightarrow m = 1\).

Chọn A

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 3\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\). Vì \(x \to {1^ + }\) nên \(x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).