Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[A'B'\]. Chứng minh đường thẳng \[B'C\] song song với mặt phẳng\[\left( {AHC'} \right)\].

 

Gọi \(K\) là giao điểm của \(B'C\) và \(BC'\), \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Do \(HB' = AI;HB'{\rm{//}}AI\) nên tứ giác \(AHB'I\) là hình bình hành hay\(AH{\rm{//}}B'I\)(1).

Mặt khác KI là đường trung bình trong tam giác ABC’ nên \(KI{\rm{//}}AC'\)(2)

Ta có AH và AC’ cắt nhau trong (AHC’); B’I và KI cắt nhau trong (B’CI) (3). Từ (1), (2), (3)\( \Rightarrow \left( {AHC'} \right){\rm{//}}\left( {B'CI} \right)\)

Mà\(B'C \subset \left( {B'CI} \right)\) nên\(B'C{\rm{//}}\left( {AHC'} \right)\).

Cách 2:

Trong mặt phẳng (ACC’A’), gọi O là giao điểm của AC’ và A’C. Vì tứ giác ACC’A’ là hình bình hành nên O là trung điểm của CA’.

Trong tam giác A’B’C ta có HO là đường trung bình nên HO // B’C

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B'C//HO\\HO \subset (AHC')\\B'C \not\subset (AHC')\end{array} \right. \Rightarrow B'C//(AHC')\).