Câu hỏi:

04/12/2025 62

Cho \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\) Chứng minh rằng \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Với \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) ta xét \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\) \(\left( 1 \right)\)

Do \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) nên \(a + b + c \ne 0.\)

Khi đó ta nhân hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(a + b + c\) thì được:

\(\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Hay \(\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Nên \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c\)

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hải đăng Đá Lát là một trong bảy ngọn hải đăng cao nhất Việt Nam được đặt trên đảo Đá Lát ở vị trí cực Tây quần đảo thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn hải đăng được xây dựng năm 1994 cao 42 m, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp quan sát qàu thuyền hoạt động trong vùng biển Trường Sa, định hướng và xác định vị trí của mình. Một người cao \(1,65\,\,{\rm{m}}\) đamg đứng trên ngọn hải đăng quan sát hai lần một chiếc tàu. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy chiếc tàu với góc hạ \[30^\circ ,\] lần thứ hai người đó nhìn thấy chiếc tàu với góc hạ \[60^\circ .\]

Biết hai vị trí được quan sát của tàu và chân hải đăng là ba điểm thẳng hàng. Hỏi sau hai lần quan sát, tàu đã chạy được bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có \[\widehat {BEF} = \widehat {xBE} = 30^\circ \] (Vì \[Bx\parallel AF\] và hai góc ở vị trí so le trong).

\[\widehat {BFA} = \widehat {xBF} = 60^\circ \].

Xét tam giác vuông \[ABF\] có \[\widehat {FBA} = 30^\circ \] suy ra \[AF = \frac{1}{2}BF.\]

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \[ABF\] có:

\[A{B^2} + A{F^2} = B{F^2}\]

\[A{B^2} + A{F^2} = {\left( {2AF} \right)^2}\]

\[A{B^2} = 3A{F^2}\]

\[{\left( {AC + BC} \right)^2} = 3A{F^2}\]

\[{\left( {42 + 1,65} \right)^2} = 3A{F^2}\]

\[43,{65^2} = 3A{F^2}\]

\[AF = \sqrt {\frac{{43,{{65}^2}}}{3}} \]

\[AF \approx 25,2\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]

Xét \[\Delta ABF\] và \[\Delta AEB\] có:

\[\widehat {ABF} = \widehat {AEB} = 30^\circ \]

\[\widehat A\] chung

Do đó, (g.g).

Suy ra \[\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AE}}\], do đó \[AE = \frac{{A{B^2}}}{{AF}} = \frac{{43,{{65}^2}}}{{25,2}} = 75,6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Sau hai lần quan sát, tàu đã chạy được: \[75,6 - 25,5 = 50,4\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Câu 2

Rút gọn các phân thức sau:

a) \(A = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}.\)

b) \(B = \frac{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}}.\)

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(A = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 3\left( {x + y} \right)z\left( {x + y + z} \right) - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\[ = \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {x + y} \right)z - 3xy} \right]}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx - 3xz - 3yz - 3xy} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}} = x + y + z.\]

b) Ta có: \(B = \frac{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}},\) xét phân thức nghịch đảo của phân thức \(B\) là:

\(\frac{1}{B} = \frac{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^{26}} + {x^{22}} + {x^{18}} + ... + {x^6} + {x^2}} \right) + \left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2}\left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right) + \left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}} = {x^2} + 1.\)

Vậy \(B = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\)

Câu 3