Cho \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\) Chứng minh rằng \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Hải đăng Đá Lát là một trong bảy ngọn hải đăng cao nhất Việt Nam được đặt trên đảo Đá Lát ở vị trí cực Tây quần đảo thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn hải đăng được xây dựng năm 1994 cao 42 m, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp quan sát qàu thuyền hoạt động trong vùng biển Trường Sa, định hướng và xác định vị trí của mình. Một người cao \(1,65\,\,{\rm{m}}\) đamg đứng trên ngọn hải đăng quan sát hai lần một chiếc tàu. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy chiếc tàu với góc hạ \[30^\circ ,\] lần thứ hai người đó nhìn thấy chiếc tàu với góc hạ \[60^\circ .\]

Biết hai vị trí được quan sát của tàu và chân hải đăng là ba điểm thẳng hàng. Hỏi sau hai lần quan sát, tàu đã chạy được bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại giá cho thuê một phòng là 400 nghìn đồng/ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi phòng tăng giá thêm 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập trong một ngày của khách sạn là lớn nhất?

Người ta giăng lưới để nuôi một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí \[A\].

Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng khu nuôi cá riêng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là \[5\,\,{\rm{m}}\] và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là \[12\,\,{\rm{m?}}\]

Rút gọn các phân thức sau:

a) \(A = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}.\)

b) \(B = \frac{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}}.\)

a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(M = \frac{{14}}{{{x^2} - 2x + 4}}.\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(N = \frac{{11}}{{12 - 4x - {x^2}}}.\)

Cho \(x,\,\,y,\,\,z \ne 0\) thoả mãn \(x + y + z = xyz\) và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3.\)

Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}.\)

Cho  \[{a_1};{\rm{ }}{a_2};{\rm{ }}{a_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{a_{2023}};{\rm{ }}{a_{2024}}\] là 2024 số thực thỏa mãn \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}}\) với \[k \in \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}2024} \right\}.\] Tính tổng \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} +  \ldots  + {a_{2024}}.\]