Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SC\) và \(SD\).

a)          Chứng minh đường thẳng \(CD\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b)          Chứng minh mặt phẳng \((OMN)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

c)          Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((P)\)với các mặt phẳng \[(ABCD)\]và \[(SAB)\].

d)           Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\) và \(E\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(GE\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Tính tỉ số diện tích của hai tam giác \(EAB\) và \(EAC\).

 

a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD\,{\rm{//}}\,AB\\CD\, \not\subset \,\,(\,SAB\,)\,\,\\AB\, \subset \,(SAB\,)\end{array} \right.\, \Rightarrow \,CD\,{\rm{//}}\,(\,SAB)\) (điều phải chứng minh).

b) Ta có \(OM,MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) và tam giác \(SBD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}OM||SA\\OM \not\subset \left( {SAB} \right)\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//\left( {SAB} \right)\)(1)

\(\left\{ \begin{array}{l}ON||SB\\ON \not\subset \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ON//\left( {SAB} \right)\) (2)

Từ (1), (2) và \(ON \cap OM = O,OM,ON \subset \left( {OMN} \right) \Rightarrow \left( {OMN} \right)//\left( {SAB} \right)\)

c) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((P)\)với các mặt phẳng \[(ABCD)\]và \[(SAB)\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( P \right)//\left( {SBC} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ox,Ox//BC\]

Gọi \(Ox \cap AB = Q\)

\[\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( P \right)//\left( {SBC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = Qy,Oy//SB\].

d)

Cách 1:

Gọi \(F\) là giao điểm của \(AE\) và \(CD\) trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}GE \subset \left( {ANF} \right)\\GE//\left( {SCD} \right)\\\left( {ANF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NF\end{array} \right. \Rightarrow GE//NF\)

\( \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{{NG}}{{NA}} = \frac{1}{3}\)

Theo Talet, ta có: \(\frac{{EC}}{{AD}} = \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow EC = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}BC \Rightarrow \frac{{EB}}{{EC}} = 2\)

Nhận xét: \(\Delta EAB\) và \(\Delta EAC\) có chung đường cao kẻ từ \(A\).

Do đó: \(\frac{{{S_{\Delta EAB}}}}{{{S_{\Delta EAC}}}} = \frac{{EB}}{{EC}} = 2\).

Cách 2:

Vẽ \(GF\) song song với \(SD\)\(\left( {F \in AD} \right)\).

Ta chứng minh được: \(\left( {GEF} \right)//\left( {SCD} \right) \Rightarrow EF//CD\)

Từ đó suy ra được:

\(\frac{{EC}}{{BC}} = \frac{{FD}}{{AD}} = \frac{{GN}}{{AN}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EC = \frac{1}{3}BC\)

Nhận xét: \(\Delta EAB\) và \(\Delta EAC\) có chung đường cao kẻ từ \(A\)

 Do đó: \(\frac{{{S_{\Delta EAB}}}}{{{S_{\Delta EAC}}}} = \frac{{EB}}{{EC}} = 2\)