Có 2 hộp, hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu xanh, hộp II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con xúc xắc nếu được mặt 6 chấm thì lấy một gói quà từ hộp I, nếu mặt khác thì lấy một gói quà từ hộp II. Xác suất để lấy được gói quà màu đỏ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Gọi \(A\) là biến cố “Trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 9”;

\(H\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ nhất không đánh số 9”;

\(K\) là biến cố “Thẻ rút ra từ hòm thứ hai không đánh số 9”.

Khi đó \(\overline A = HK\). Ta có \(P\left( H \right) = \frac{{12}}{{13}};P\left( K \right) = \frac{{12}}{{13}}\).

Vì \(H\)và \(K\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {HK} \right) = P\left( H \right) \cdot P\left( K \right) = \frac{{144}}{{169}}\).

Do đó \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{144}}{{169}} = \frac{{25}}{{169}}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 6”; \(B\) là biến cố “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.

Từ 1 đến 25 có 4 số chia hết cho 6. Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{4}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{21}}{{25}}\).

Từ 1 đến 25 có 5 số chia hết cho 5. Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{4}{5}\).

Giả sử Bình thắng ở lần rút thứ n.

Vì các lần rút là độc lập với nhau nên xác suất để Bình thắng ở lần rút thứ n là

\({P_n} = {\left( {\frac{{21}}{{25}}} \right)^n} \cdot {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n}\).

Do đó xác suất để Bình thắng là:

\(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{84}}{{125}} + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n} + ...\)\( = \frac{1}{4}\left[ {\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right) + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)}^n} + ...} \right]\).

Vì \(\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right),{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^2},...,{\left( {\frac{{84}}{{125}}} \right)^n},...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(\frac{{84}}{{125}}\) công bội là \(\frac{{84}}{{125}}\) nên \(P = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\frac{{84}}{{125}}}}{{1 - \frac{{84}}{{125}}}} = \frac{{21}}{{41}}\).

Suy ra \(a = 21;b = 41 \Rightarrow a + b = 62\).

Trả lời: 62.