Cho \[\lim \frac{{\sqrt[3]{{a{n^3} + 5{n^2} + 2}}}}{{\sqrt {2{n^2} - 3n - 1} }} = b\sqrt 2 \] . Giá trị của biểu thức \(P = \frac{a}{{{b^3}}}\) bằng

Chọn D

Ta có \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\) chỉ đúng khi \(\lim {u_n} = a,\,\,\lim {v_n} = b,\,\left( {a;\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) và \(b \ne 0\).

Gọi \[M\],\(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \[BC\],\(CD\),\(AB\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC{\rm{//}}MQ\\BD{\rm{//}}MP\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {AC,BD}} \right) = \left( {\widehat {MQ,MP}} \right)\).

Ta có \(\Delta QCD\) cân tại \(Q\), \(P\) là trung điểm \(CD\) nên suy ra \(QP \bot CD\)

\( \Rightarrow QP = \sqrt {Q{C^2} - C{P^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) . Ta lại có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\\MP = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}\end{array} \right.\\\end{array}\).

Suy ra: \(Q{P^2} = M{Q^2} + M{P^2} \Rightarrow \Delta MPQ\) vuông tại \(M\) \( \Rightarrow \left( {\widehat {MQ,MP}} \right) = \widehat {PMQ} = 90^\circ \).

Vậy \(\left( {\widehat {AC,BD}} \right) = 90^\circ \).