Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và tam giác SCD.

1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SMN) với mặt phẳng (ABCD).

2. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD).

3.Gọi I là giao điểm của SA với mặt phẳng (CMN). Tính tỷ số \[\frac{{SI}}{{SA}}\].

1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SMN) với mặt phẳng (ABCD).

Trong mặt phẳng (SBC), SM cắt BC tại E.

Trong mặt phẳng (SCD), SN cắt CD tại F.

Kêt luận \[\left( {SMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = EF\].

2. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD).

Ta có \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(MN{\rm{//}}EF\) do đó \(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).

3. Gọi I là giao điểm của SA với mặt phẳng (CMN). Tính tỷ số \[\frac{{SI}}{{SA}}\].

Trong mặt phẳng (SBC), CM cắt SB tại P.

Trong mặt phẳng (SCD), CN cắt SD tại Q.

Suy ra \[\left( {CMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = PQ\].

Trong mặt phẳng (SBD), PQ cắt SO tại K.

Trong mặt phẳng (SAC), CK cắt SA tại I.

Ta có I là giao điểm của SA với (CMN)

Tính được \[\frac{{SI}}{{SA}} = \frac{1}{3}\].

Tính tỷ số \[\frac{{SI}}{{SA}}\].

Tam giác SBD có P và Q là các trung điểm của SB và SD nên K là trung điểm SO.

Kẻ \[OL{\rm{//}}SC\,\,\left( {L \in SA} \right)\]. Ta có

Tam giác AIC có đường trung bình OL nên L là trung điểm AI.

Tam giác SLO có đường trung bình IK nên I là trung điểm SL.

Suy ra \[SI = \frac{1}{2}SL = \frac{1}{3}SA\].