Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông. Lấy điểm \(E\) trên cạnh \(BC\) và điểm \(F\) trên cạnh \(CD\) sao cho \(\widehat {EAF} = {45^0}\). Gọi \(G\)là điểm trên cạnh \(SA\)sao cho \(FG{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\). Xác định vị trí điểm \(E\) sao cho \(\frac{{AG}}{{SG}} = \frac{1}{2}\).

Gọi \[H\] là giao của \[AF\] và \[BC\] trong mmp (ABCD)

\(\left\{ \begin{array}{l}GF \subset (SAH)\\GF{\rm{//}}(SBC)\\(SAH) \cap (SBC) = SH\end{array} \right. \Rightarrow GF{\rm{//}}SH\).

\(\widehat {EAF} = {45^0} \Rightarrow \widehat {BAE} + \widehat {DAF} = {45^0} \Rightarrow \tan \left( {\widehat {BAE} + \widehat {DAF}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAE} + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - \tan \widehat {BAE}.\tan \widehat {DAF}}} = 1\)

Ko mất tính TQ , gọi cạnh hình vuông là 1.

Đặt \(BE = x \Rightarrow \tan \widehat {BAE} = x \Rightarrow \frac{{x + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - x.\tan \widehat {DAF}}} = 1 \Rightarrow \tan \widehat {DAF} = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}\)

Mà \(\tan \widehat {DAF} = DF \Rightarrow DF = \frac{{1 - x}}{{1 + x}} \Rightarrow CF = 1 - DF = \frac{{2x}}{{1 + x}}\)

Talet \[\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{DF}}{{CF}} = \frac{{1 - x}}{{2x}}\] \(\)Mà \(\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{AG}}{{SG}} = \frac{1}{2}\) Nên \(\frac{{1 - x}}{{2x}} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

Vậy E là trung điểm của BC.