Một vật chuyển động theo quy luật \(s = \frac{{ - 1}}{2}{t^2} + 20t\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t = 8\) giây bằng bao nhiêu?

Trả lời: \(\frac{{32}}{{\sqrt {82} }}\).               

Lời giải

wGọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến \(d\) với đồ thị \(\left( C \right)\).

Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 6x \Rightarrow \) hệ số góc tiếp tuyến tại điểm \(M\) là \(y'\left( {{x_0}} \right) =  - 3x_0^2 + 6{x_0}\).

Mà tiếp tuyến \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y = \frac{1}{9}x + \frac{{2021}}{9}\) nên \(y'\left( {{x_0}} \right) =  - \frac{1}{k} =  - 9\).

Khi đó \(3x_0^2 - 6{x_0} - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.\).

wNhư vậy

Phương trình tiếp tuyến \({d_1}\) tại điểm \(M\left( {3;0} \right)\) là \[{d_1}:9x + y - 27 = 0\].

Phương trình tiếp tuyến \({d_2}\) tại điểm \(M\left( { - 1;4} \right)\) là \({d_2}:9x + y + 5 = 0\).

Mặt khác \({d_1}{\rm{//}}{d_2}\) nên \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{32}}{{\sqrt {82} }}\).

Trả lời: \( \approx {54^^\circ }\)

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BO \bot SA}\\{BO \bot AC}\end{array} \Rightarrow BO \bot (SAC)} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBA) \cap (SAC) = SA}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SAC),OI \bot SA \Rightarrow [B,SA,C] = [B,SA,O] = \widehat {BIO}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SBA),BI \bot SA}\end{array}} \right.\)

Ta có:

Xét \(\Delta BOI\) vuông tại \(O:\tan \widehat {BIO} = \frac{{BO}}{{IO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3} \Rightarrow \widehat {BIO} \approx {54^^\circ }\)