Cho một khối chóp có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \(B\). Nếu giữ nguyên chiều cao \(h\), còn diện tích đáy tăng lên \(3\) lần thì ta được một khối chóp mới có thể tích là:

Gọi \[A\left( {{x_1},{{\log }_3}\left( {5{x_1} - 3} \right)} \right)\]. Vì \[A\] là trung điểm \[OB\] nên \[B\left( {2{x_1};2{{\log }_3}\left( {5{x_1} - 3} \right)} \right)\].

Vì \[B\] thuộc đồ thị của hàm số \[y = {\log _3}\left( {5x - 3} \right)\] nên \[2{\log _3}\left( {5{x_1} - 3} \right) = {\log _3}\left( {10{x_1} - 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x_1} - 3 > 0\\10{x_1} - 3 > 0\\{\left( {5{x_1} - 3} \right)^2} = 10{x_1} - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x_1} - 3 > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} = \frac{6}{5}\].

Vì thế \[A\left( {\frac{6}{5};1} \right),\,B\left( {\frac{{12}}{5};2} \right) \Rightarrow AB = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\].

Hình chiếu điểm \(B\) xuống trục hoành là \(H\left( {\frac{{12}}{5};\,0} \right) \Rightarrow BH = 2\) và \(OH = \frac{{12}}{5} \Rightarrow {S_{\Delta OBH}} = \frac{{12}}{5}\)

a) Đúng: Hoành độ của điểm \(B\) là một số nguyên.

b) Sai: Trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) là điểm \(A\) có tọa độ \(\left( {\frac{6}{5};\,1} \right)\).

c) Sai: Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(B\) xuống trục hoành. Khi đó \({S_{\Delta OBH}} = \frac{{12}}{5}\)

d) Đúng: Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng \[\frac{{\sqrt {61} }}{5}\].

Với \(b > 1 > a > 0\) ta có :

\[\log _a^2\left( {ab} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + {\log _a}b = 2\\1 + {\log _a}b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b = 1\\{\log _a}b =  - 3\end{array} \right.\]

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\b > 1\end{array} \right.\)nên \({\log _a}b =  - 3\).

Khi đó :\(\log _a^3\left( {a{b^2}} \right) = {\left( {{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b} \right)^3} = {\left( {1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right)^3} =  - 125\).