Phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta :x - 2y = 0\), tiếp xúc với đường thẳng \({\Delta ^\prime }:2x - y + 2 = 0\) đồng thời đường tròn đi qua điểm \(M(1;3)\) là:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

- Gọi tâm của đường tròn cần tìm là \(I(2t;t) \in \Delta :x - 2y = 0\)

-Ta có: \(MI = d\left( {I;{\Delta ^\prime }} \right)\) từ đó tìm được \(t\).

-Viết phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải

Gọi tâm của đường tròn cần tìm là \(I(2t;t) \in \Delta :x - 2y = 0\)

Theo giả thiết, ta có:

\(MI = d\left( {I;{\Delta ^\prime }} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{(2t - 1)}^2} + {{(t - 3)}^2}} = \frac{{|2.2t - t + 2|}}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {5{t^2} - 10t + 10} = \frac{{|3t + 2|}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow 8{t^2} - 31t + 23 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \frac{{23}}{8}}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 1\) thì đường tròn cần tìm có tâm \(I(2;1)\), bán kính \(R = IM = \sqrt 5 \), và có phương trình là: \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5\)

Với \(t = \frac{{23}}{8}\) thì đường tròn cần tìm có tâm \(I\left( {\frac{{23}}{4};\frac{{23}}{8}} \right)\), bán kính \(R = IM = \frac{{17\sqrt 5 }}{8}\), và có phương trình là: \({\left( {x - \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1445}}{{64}}\)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 5{\rm{ v\`a }}{\left( {x - \frac{{23}}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{23}}{8}} \right)^2} = \frac{{1445}}{{64}}{\rm{.}}\)