Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau, \(SB = a\sqrt 3 \), góc giữa \(SC\) và \(\left( {SAB} \right)\) là \(45^\circ \) và \(\widehat {ASB} = 30^\circ \).

Theo giả thiết, \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(SB = a\sqrt 3 \), \(\widehat {ASB} = 30^\circ \). Khi đó, \(SA = SB.\cos 30^\circ  = \frac{{3a}}{2}\) và \(AB = SB.\sin 30^\circ  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\). Vậy hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) cùng vuông góc với \(\left( {SAB} \right)\) nên suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \)\(\left( {SC,\,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,\,SB} \right) = \widehat {CSB} = 45^\circ \).

Suy ra \(\Delta SBC\) vuông cân tại \(B\)\( \Rightarrow BC = SB = a\sqrt 3 \).

Mặt khác, \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CB \bot AB\)\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).

Khi đó, \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{3{a^2}}}{4}\) và \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{3{a^3}}}{8}\).

Vậy tỉ số \(\frac{{{a^3}}}{V} = \frac{8}{3}\).

a) Đúng: Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Sai: Tam giác \(SBC\) vuông cân tại \(B\).

c) Đúng: Hai đường thẳng \(AB\) và \(CB\) vuông góc với nhau.

d) Sai: Nếu gọi thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V\) thì tỷ số \(\frac{{{a^3}}}{V}\) bằng \(\frac{8}{3}\).