Số lượng của loại vi khuẩn \(A\) trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(S\left( t \right) = S\left( 0 \right){.2^t}\), trong đó \(S\left( 0 \right)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) ban đầu, \(S\left( t \right)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) có sau \(t\) phút. Biết sau \(3\) phút thì số lượng vi khuẩn \(A\) là \(625\) nghìn con. Hỏi sau bao lâu (đơn vị: phút) kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn \(A\) là \(10\) triệu con?

Gọi \[\alpha  = \widehat {\left( {SB,AC} \right)}\]. Do \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] nên tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].

Ta có \[\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AS} } \right).\overrightarrow {AC} } \right|}}{{{a^2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{{a^2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{{a^2}}}\]

\[ = \frac{{\left| {SA.AC.cos{{60}^0}} \right|}}{{{a^2}}} = \cos {60^0}\]. Khi đó \[\alpha  = \widehat {\left( {SB,AC} \right)} = {60^0}\]

Ta có diện tích đáy \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ACD}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot AB\), vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot CH\,\,(do\,AB = BC = CA)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHC} \right)\), vì \(CD//AB \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right)\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SC \bot CD,\,SC \subset \left( {SCD} \right)\,\\HC \bot CD,\,HC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\)suy ra góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(\widehat {SCH}\).

Suy ra \(\Delta SHC\) vuông cân tại \(H\)\( \Rightarrow SH = CH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \[V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{9\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4} = \frac{{27}}{4} = 6,75\] (đơn vị thể tích).