Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng \[{60^0}\], đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[1\] và \[A'\] cách đều \[A,B,C\]. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), do các tam giác \(\Delta A'B'C',\,\,\Delta AB'C'\) lần lượt cân đỉnh \(A'\) và \(A\) nên \(AH \bot B'C'\), \(A'H' \bot B'C'\)

Suy ra: \(\widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH,A'H} \right)} = \widehat {AHA'}\)

Xét tam giác:\[AHA'\] có \(\widehat {A'} = {90^0},A'H = a\sqrt 3 \) và \(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow \widehat {AHA'} = {30^0}\).

Vậy số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\).

Gọi \[G\]là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Vì hình chóp \[S.ABC\] đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \[GM\] là hình chiếu của \[SM\] trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên \(SM \bot BC\).

Lại có:\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right)\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMA} = \widehat {SMG}\].

Xét \[\Delta ABC\]đều có \[AM\] là đường trung tuyến, \[G\] là trọng tâm nên \[GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Tam giác \[SMB\] vuông tại \[M\] nên:

\[S{M^2} = S{B^2} - B{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow SM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

Tam giác \[SGM\] vuông tại G nên: \[\cos \widehat {SMG} = \frac{{GM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\frac{{\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMG} = {60^ \circ }\].

a) Đúng: Đường thẳng \(SG\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Đúng: Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \[\widehat {SMA}\].

c) Sai: Đoạn thẳng \(SM\) có độ dài bằng \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

d) Đúng: Giá trị góc \(\alpha \) giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \({60^0}\).