Cho hình chóp \[S.ABC\]có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \(C\). Tam giác \[SAB\]vuông cân tại \[S\] và \(\widehat {BSC} = 60^\circ ;SA = a\). Gọi \[M,N\]lần lượt là trung điểm cạnh \[SB,SA\], \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(AB\)và \(CM\).

Đặt \(SA = a\). Suy ra \(SB = CA = CB = a\) và \(AB = a\sqrt 2 \).

Lại có \(\widehat {BSC} = {60^o}\). Suy ra tam giác \[SBC\]đều nên \[SC = a\].

Suy ra \[CM = CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] hay \[MN\]song song với \[AB\].

Khi đó \[\widehat {\left( {AB,CM} \right)} = \widehat {\left( {MN,CM} \right)}\]. Áp dụng định lí cosin vào tam giác \[CMN\]ta có:

\[{\rm{cos }}\widehat {{\rm{CMN}}} = \frac{{M{C^2} + M{N^2} - C{N^2}}}{{2MC.MN}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\]\(\)

\[ \Rightarrow \cos \left( {AB,CM} \right) = \cos \left( {MN,CM} \right) = \left| {\cos \widehat {CMN}} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\].

a) Sai: Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng \(a\sqrt 2 \)

b) Đúng: Tam giác \[SBC\]là tam giác đều

c) Đúng: Đường thẳng \[MN\]song song với đường thẳng \[AB\] và \[\widehat {\left( {AB,CM} \right)} = \widehat {\left( {MN,CM} \right)}\]

d) Sai: Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \(AB\)và \(CM\) bằng \[\frac{{\sqrt 6 }}{6}\]