Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = 1\), \(BC = \sqrt 2 \), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Dựng điểm D sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Ta có \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \[AB\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\].

Khi đó \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\), dựng \(AH \bot SD\) (\(H \in SD\)).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\].

Có \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SD\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\]. Do đó \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AD = BC = \sqrt 2 \).

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = a\). Vậy \(d\left( {AB,SC} \right) = AH = 1\).