Cho khối chóp đều \(S.ABCD\) có \(AC = 4a\), hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) vuông góc với nhau. Gọi \(M,O,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC,CD\), qua \(S\) dựng đường thẳng \(Sx{\rm{//}}AB\).

Gọi \(M,O,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC,CD\) nên \(AB \bot SM,CD \bot SN\).

Qua \(S\) dựng đường thẳng \(Sx{\rm{//}}AB\).

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB{\rm{//}}CD\end{array} \right.\] nên \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}Sx\perp SM\\ Sx\perp SN\end{array}\right.\Rightarrow Sx\perp \left(SMN\right)\Rightarrow \widehat{MSN}={90}^{°}$

Hình chóp \(S.ABCD\) đều \( \Rightarrow ABCD\) là hình vuông, có \(AC = 4a\) \( \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = 2a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow MN = 2\sqrt 2 a\) \( \Rightarrow SO = \frac{{MN}}{2} = a\sqrt 2 \).

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\sqrt 2 a.{\left( {2a\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}{a^3}\).

a) Đúng: Đường thẳng \(Sx\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\)

b) Sai: Tứ giác \(ABCD\) là một hình vuông do khối chóp này là khối chóp đều

c) Đúng: Đoạn thẳng \(SO\) có độ dài bằng \(2a\sqrt 2 \)

d) Sai: Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)