Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều, cạnh đáy là \[a = 4\sqrt 2 \,cm\], cạnh bên \[SB\] vuông góc với mặt phẳng đáy và \[SB = 2\,\,cm\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\]. Số đo góc giữa đường thẳng \[SM\] và \[BN\] bằng bao nhiêu độ?
Câu hỏi trong đề: Bộ 14 đề thi giữa kì 2 Toán 11 cấu trúc mới !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: \[45\] độ.
Gọi \[D\] là trung điểm của \(AN\).
+) Xét \[\Delta ABN\] có: \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[D\] là trung điểm của \[AN\].
\[ \Rightarrow MD\] là đường trung bình của \[\Delta ABN\]\[ \Rightarrow MD//BN\].
\[ \Rightarrow \] Góc giữa \[SM\] và \[BN\] bằng góc giữa \[SM\] và \[MD\].
+) Xét \[\Delta ABC\] đều có cạnh là \[a = 4\sqrt 2 \,cm\], \[BN\] vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
\[ \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 6 \,\,cm\].
Mà \[MD = \frac{1}{2}BN\] (tính chất đường trung bình) \[ \Rightarrow MD = \frac{1}{2}.2\sqrt 6 = \sqrt 6 \,\,cm\].
+) Ta có: \[SB \bot \left( {ABC} \right)\]\[ \Rightarrow SB \bot BM\]\[ \Rightarrow \Delta SBM\] là tam giác vuông tại \[B\]
\[ \Rightarrow SM = \sqrt {S{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 2\sqrt 3 \,\,cm\].
+) \[\Delta BND\] vuông tại \[N\]\[ \Rightarrow BD = \sqrt {B{N^2} + N{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {26} \,\,cm\].
+) \[\Delta SBD\] vuông tại \[B\]\[ \Rightarrow SD = \sqrt {S{B^2} + B{N^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt {26} } \right)}^2}} = \sqrt {30} \,\,cm\].
+) \[\cos \widehat {SMD} = \frac{{S{M^2} + M{D^2} - S{D^2}}}{{2.SM.MD}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {30} } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {SMD} = {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 135^\circ \].
\[ \Rightarrow \] Góc giữa đường thẳng \[SM\] và \[BN\] bằng \[180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) SAI
Vì tập xác định của hàm số là \[\left( {1\,;\, + \infty } \right)\].
b) SAI
Vì tập giá trị của hàm số là \[\mathbb{R}\].
c) SAI
Vì hàm số đồng biến trên \[\left( {1\,;\, + \infty } \right)\] nên \[f\left( {2024} \right) < f\left( {2025} \right)\].
d) ĐÚNG
Vì đồ thị của hàm số luôn nằm bên phải trục tung và đi qua điểm \[\left( {2\,;\,0} \right)\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án:
a) \(\left( {SBC} \right)\).
b) \(45^\circ \).
a. Trong các mặt bên của hình chóp \(S.ABC\), mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) là \(\left( {SBC} \right)\)
Ta có:
\(BC \bot AM\) (\(\Delta ABC\) đều)
\(BC \bot SA\) \(\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\)
Suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)
Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\)
Vậy \(\left( {SAM} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
b. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(45^\circ \).
Ta có
\(AM \bot BC\)
\(SM \bot BC\) \(\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\)
Suy ra \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SM,AM} \right) = \widehat {SMA}\)
Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \[A\], ta có:
\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1\)
Vậy \(\widehat {SMA} = 45^\circ \).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập