Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều, \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] cách \[A\] một khoảng bằng \[a\] và hợp với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] góc \[{30^0}\].

Thể tích của khối chóp \[S.ABC\] bằng:……………………………….

Dựng \(HI \bot AB\).

Ta có: \[\left. \begin{array}{l}AB \bot IH\\AB \bot SH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIH} \right)\] và \(\left( {SIH} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SI\).

Dựng \(HK \bot SI\).

Ta có : \[\left. \begin{array}{l}HK \bot AB\\HK \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right)\].

Vậy \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).

Do \(HI/{\kern 1pt} /BC\) nên dễ dàng chỉ ra được \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(IH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Ta có \(AB \bot SI\) nên \(SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Do \(SH \bot IH\) nên xét tam giác vuông \(SIH\) có:

\(SH = \sqrt {S{I^2} - I{H^2}}  = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}  = a\); \(HK = \frac{{SH.HI}}{{SI}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Do vậy, ta có \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

+ Gọi hình chóp tứ giác đều là \(S.ABCD\) như hình vẽ, \(O = AC \cap BD,\,M\) là trung điểm của \(AB\)

Khi đó góc nhị diện tạo bởi mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\left[ {S,AB,O} \right]\).

Ta có \(SM \bot AB\) và \(OM \bot AB\), suy ra \(\widehat {SMO}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,AB,O} \right]\).

Xét tam giác \(SMO\) ta có \[\tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} \Rightarrow BC = 2OM = \frac{{2SO}}{{\tan \widehat {SMO}}} \approx 230,36\,(m)\]

+ Tìm số đo của góc phẳng nhị diện hai mặt bên, tức là số đo của góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SB,C} \right]\)

Kẻ \(AI \bot SB\), lại có \(SB \bot AC\)(vì\(AC \bot \left( {SBD} \right)\)) từ đó suy ra \(SB \bot CI\).

Vậy góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SB,C} \right]\) là góc \(\widehat {AIC}\).

Hai tam giác \(\Delta SAB = \Delta SBC\) suy ra hai đường cao \(AI = CI\), tam giác \(\Delta IAC\) cân tại I.

Đặt \(a = 230,36;\,h = 146,6\)

Ta có \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \); \[SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}}  = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} \]

Trong tam giác cân SAB ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AI.SB = \frac{1}{2}SM.AB \Rightarrow AI = \frac{{SM.AB}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} .a}}{{\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }}\)

\(\cos \widehat {AIC} = \frac{{A{I^2} + C{I^2} - A{C^2}}}{{2AI.CI}} = \frac{{2{a^2}\left( {\frac{{4{h^2} + {a^2}}}{{2\left( {2{h^2} + {a^2}} \right)}}} \right) - 2{a^2}}}{{2.\frac{{4{h^2} + {a^2}}}{{2\left( {2{h^2} + {a^2}} \right)}}{a^2}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{4{h^2} + {a^2}}}\), thay số \(a = 230,36;\,h = 146,6\)

Ta suy ra được \(\widehat {AIC} \approx {112^0}26'16''\).