Tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = x{\left( {1 - 2{x^4}} \right)^5} + {x^3}{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).

 

Đáp án

50.

Giải thích

Để tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \(P\left( x \right)\), ta cần tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {1 - 2{x^4}} \right)^5}\) và hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).

Ta có:

\({\left( {1 - 2{x^4}} \right)^5} = 1 - 5.2{x^4} + 10.{\left( {2{x^4}} \right)^2} - 10.{\left( {2{x^4}} \right)^3} + 5.{\left( {2{x^4}} \right)^4} - {\left( {2{x^4}} \right)^5}\)

                 \( = 1 - 10{x^4} + 40{x^8} - 80{x^{12}} + 80{x^{16}} - 32{x^{20}}\)

\({\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = 1 + 5{x^2} + 10.{\left( {{x^2}} \right)^2} + 10.{\left( {{x^2}} \right)^3} + 5.{\left( {{x^2}} \right)^4} + {\left( {{x^2}} \right)^5}\)

              \( = 1 + 5{x^2} + 10{x^4} + 10{x^6} + 5{x^8} + {x^{10}}\)

Suy ra \(P\left( x \right) = \ldots + x.40{x^8} + \ldots + {x^3}.10{x^6} = \ldots + 50{x^9} + \ldots \)

Vậy hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \(P\left( x \right)\) là 50.