Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^n}\) với \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2\).

 

Đáp án

480.

Giải thích

Từ phương trình \(C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2 \to n = 10\).

Với \(n = 10\), khi đó \(P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^n} = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^{10}}\).

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển tương ứng với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k + 2l = 4}\\{0 \le k \le 10}\\{0 \le l \le k}\end{array} \Leftrightarrow \left( {k;l} \right) = \left\{ {\left( {4;0} \right),\left( {2;1} \right)} \right\}} \right.\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là \(C_{10}^4C_4^0 + C_{10}^2C_2^13 = 480\).