Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D bằng $\frac{a}{k}$. Giá trị của k bằng bao nhiêu?

Đáp án:  __

 

Đáp án

3

Giải thích

​

Chọn \(a = 1\) ta có hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(D\left( {0;0;0} \right),A'\left( {1;0;1} \right),K\left( {0;0;\frac{1}{2}} \right)\) và \(C\left( {0;1;0} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {DA'}  = \left( {1;0;1} \right);\overrightarrow {CK} \left( {0; - 1;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow {DK} \left( {0;0;\frac{1}{2}} \right)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {CK} } \right] = \left( {1; - \frac{1}{2}; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {CK} } \right].\overrightarrow {DK}  =  - \frac{1}{2}\)

Do đó \(d\left( {DA',CK} \right) = \frac{{\left| { - \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{3}\). Vậy \(d\left( {DA',CK} \right) = \frac{a}{3}\).