Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có Dũng, Mai và Đào được xếp thành đội hình hàng ngang. Xác suất để Dũng và Mai đứng cạnh nhau nhưng Dũng và Đào thì không đứng cạnh nhau là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\)

Xét phép thử: “Xếp 12 học sinh thành một hàng ngang” và biến cố A: “Dũng và Mai đứng cạnh nhau nhưng Dũng và Đào thì không đứng cạnh nhau”.

Số phần tử không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = 12!\)

Xét các cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau. Ta xếp Dũng và Mai thành một nhóm, có 2! cách, rồi xếp nhóm này với 10 người còn lại thành hàng ngang, có 11! cách. Theo quy tắc nhân có \(2!.11!\) cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau.

Xét các cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau; Dũng và Đào cũng đứng cạnh nhau. Khi đó, Mai và Đào phải đứng bên cạnh Dũng, thành ra có 2! cách xếp 3 bạn này thành một nhóm. Sau đó ta xếp nhóm này với 9 người còn lại, có 10! cách. Theo quy tắc nhân có \(2!.10!\) cách xếp mà Dũng và Mai đứng cạnh nhau; Dũng và Đào cũng đứng cạnh nhau.

Suy ra số kết quả có lợi cho biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 2!.11! - 2!.10!\).

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{2!.11! - 2!.10!}}{{12!}} = \frac{5}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + b = 43\).