Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có Dũng, Mai và Đào được xếp thành đội hình hàng ngang. Xác suất để Dũng và Mai đứng cạnh nhau nhưng Dũng và Đào thì không đứng cạnh nhau là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\)

Điều kiện \(n \ge 2,\,\,\,n \in \mathbb{N}*.\)

\(A_n^1 - 3A_n^2 = n - 36 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = n - 36 \Leftrightarrow  - 3{n^2} + 3n + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 3\,\,\left( {loai} \right).\end{array} \right.\)

Các ba ước nguyên dương của 4 là \[\left\{ {1;\,2;\,4} \right\}.\].

Ta có: \(AH \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(AH:x - y = 0\).

Gọi \(H,\,D\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AH\).

Toạ độ \(D\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\). Vậy \(D\left( {2;\,2} \right) \Rightarrow H\left( { - 2; - 2} \right)\).

Do \(BC//d \Rightarrow BC\) có phương trình: \(x + y + 4 = 0\).

\(C \in BC \Rightarrow C\left( {t;\, - t - 4} \right)\) với \(t > 0\). Do \(H\) là trung điểm \(BC\) nên suy ra \(B\left( { - t - 4;\,t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE}  = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Rightarrow t = 2\) (do \(t > 0\)).

Vậy \(C\left( {2;\, - 6} \right)\) nên \(x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {\left( { - 6} \right)^2} = 40\).