Cho tứ diện \(S.ABC\) trong đó \(SA,SB,SC\) vuông góc với nhau từng đôi một và \(SA = 3a,SB = a,SC = 2a\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

Kẻ \(BI \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BI \bot AC}\\{BI \bot SA}\end{array} \Rightarrow BI \bot (SAC)} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAC) \cap (SBC) = SC}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SAC),IH \bot SC \Rightarrow [A,SC,B] = \widehat {IHB}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SBC),BH \bot SC}\end{array}} \right.\)

Ta có:

$\Delta HCI\backsim \Delta ACS\Rightarrow \frac{HI}{SA}=\frac{CI}{SC}\Rightarrow HI=\frac{SA\cdot CI}{SC}=\frac{2a\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}a$

Xét \(\Delta BH\) vuông tại \(I:\tan \widehat {BHI} = \frac{{BI}}{{HI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{5}a}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2} \Rightarrow \widehat {BHI} \approx {62,7^0}\)