Cho elip \[\left( E \right)\] có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Đúng: Tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \)

b) Sai: Điểm \(N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) đối xứng với \(M\) qua trục tung. Do đó \(N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)thuộc Elip.

c) Sai: Ta có: \(M{F_1} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\).

d) Đúng: Phương trình chính tắc của elip có dạng:\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3  \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3\) \(\left( 1 \right)\)

\(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\) \(\left( 2 \right)\)

Giải hệ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được:\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 3\\4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^2} + 3\left( {3 + {b^2}} \right) = 4\left( {3 + {b^2}} \right){b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình elip là: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).