Lớp 10A có 37 học sinh. Cô giáo cần chọn ra 3 bạn để bầu vào chức lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn?

Điều kiện: \[x \ne 0;x \ne  - 2\].

Ta có \[\frac{{x - 1}}{x} - \frac{6}{{x + 2}} + 2 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x + 2x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - x - 2}}{{{x^2} + 2x}} \le 0\].

Ta có bảng xét dấu sau

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right] \cup \left( {0;1} \right]\].

Kết hợp giả thiết ta có các nghiệm nguyên thỏa mãn là: \[\left\{ { - 1;1} \right\}\].

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2mx + 2\left( {m + 1} \right)y + 5 = 0\left( 1 \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} - 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{m <  - 2}\end{array}} \right.\left( * \right)\).

Khi đó đường tròn có bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2} - 5}  = \sqrt {2{m^2} + 2m - 4} \).

Ta có \(R \le 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2{m^2} + 2m - 4}  \le 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 \le 0 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 2\).

Kết hợp điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m \in \left[ { - 3; - 2} \right) \cup \left( {1;2} \right]\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3;2} \right\}\). Vậy có \(2\) giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.