Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm được \(k = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) để \(AM\) vuông góc với \(PN\). Tính \(2a + b\).
Cho tam giác đều \(ABC\) và các điểm \(M,N,P\) thỏa mãn \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \). Tìm được \(k = \frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) để \(AM\) vuông góc với \(PN\). Tính \(2a + b\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
5
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB} \)\( = k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \).
Để \(AM \bot PN\) thì \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{4k}}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{{1 - k}}{3} \cdot \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}{\overrightarrow {AB} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{3} - \frac{{4k}}{{15}}} \right)\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 60^\circ = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{3k}}{{10}} = \frac{1}{{10}}\)\( \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(2a + b = 5\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {8 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{a^2} + {b^2} = {\left( {7 - a} \right)^2} + {\left( {7 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16a + 8b = 80\\14a + 14b = 98\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.\).
Khi đó \(a + b = 7\).
Lời giải
Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\).
Vì \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) nên \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\).
Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\5{y^2} - 30y - 35 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = 7\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 8; - 4} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\) nên \(M\left( { - 7; - 1} \right)\). Do đó \(x = - 7;y = - 1\). Vậy \(x + y = - 8\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Tọa độ của \(\overrightarrow {BC} \) là \(\left( {0; - 4} \right)\).
Đúng
Sai
b) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(\left( {\frac{3}{2};1} \right)\).
Đúng
Sai
c) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 9\).
Đúng
Sai
d) Gọi \(D\left( {a;b} \right)\) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \(A\) lên \(BC\). Khi đó \(a + b = 2,5\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
C. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {GM} \).
D. \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập