Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là \(55\% \). Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ tiếng anh lần lượt là \(20\% \) và \(15\% \). Gặp ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh đó là nữ” và \(B\) là biến cố “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ tiếng Anh”.

Trả lời: 240

Cốc hình trụ có bán kính R = 6 cm, chiều cao h = 10 cm.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\left( { - 6 \le x \le 6} \right)\) cắt vật thể theo theo thiết diện có diện tích là \(S\left( x \right)\).

Ta có \(S\left( x \right) = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}B{C^2}\tan \alpha = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\frac{h}{R} = \frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}\).

Vậy thể tích lượng nước trong cốc là \(V = \int\limits_{ - 6}^6 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 6}^6 {\frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}dx} = 240\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) \(Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right)dt} = \int {\left( {4{t^3} - 72{t^2} + 288t} \right)dt} = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + C\).

Vì \(Q\left( 2 \right) = 500\) nên \({2^4} - {24.2^3} + {144.2^2} + C = 500\)\( \Leftrightarrow C = 100\).

Do đó \(Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + 100\).

b) Ta có \(Q\left( 5 \right) = {5^4} - {24.5^3} + {144.5^2} + 100 = 1325\).

c) Có \(Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t = 0 \Leftrightarrow t = 0;t = 6;t = 12\).

Có \(Q\left( 0 \right) = 100;Q\left( 6 \right) = {6^4} - {24.6^3} + {144.6^2} + 100 = 1396\);

\(Q\left( {12} \right) = {12^4} - {24.12^3} + {144.12^2} + 100 = 100\).

Do đó lượng khách tham quan lớn nhất là \(1396\) người khi \(t = 6\) giờ.

d) Ta có \(Q''\left( t \right) = 12{t^2} - 144t + 288\); \(Q''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6 \pm 2\sqrt 3 \).

Có \(Q'\left( 0 \right) = 0;Q'\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) = 4.{\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right)^3} - 72.{\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right)^2} + 288.\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) \approx 333\);

\(Q'\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) = 4.{\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right)^3} - 72.{\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right)^2} + 288.\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) \approx - 333\);

\(Q'\left( {13} \right) = {4.13^3} - {72.13^2} + 288.13 \approx 364\).

Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm \(t = 13\).