Công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: 10 khách đầu tiên có giá là 800000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10000 đồng/người cho toàn bộ khách hàng. Tổng số khách là bao nhiêu để công ty thu được lợi nhuận là lớn nhất? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 600000 đồng/người.

Gọi \(x\) là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm (\(x > 0\)).

Giá vé khi có thêm \(x\) khách là \(800000 - 10000x\) (đồng/người).

Doanh thu khi thêm \(x\) khách là \(\left( {x + 10} \right) \cdot \left( {800000 - 10000x} \right) = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right)\) (đồng).

Chi phí thực sau khi thêm \(x\)vị khách là \(600000\left( {x + 10} \right)\) (đồng).

Lợi nhuận khi thêm \(x\) vị khách là

\(T = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right) - 600000\left( {x + 10} \right)\)\( = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x - 60} \right) = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {20 - x} \right)\)\( = - 10000{x^2} + 100000x + 2000000\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(T = - 10000{x^2} + 100000x + 2000000\) với \(x > 0\).

Tọa độ đỉnh \(I\left( {5;2250000} \right)\).

Vì \(a = - 10000 < 0\) nên ta có bảng biến thiên

Nhóm tham quan có 15 người thì công ty thu được lợi nhuận là lớn nhất.