Biết một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) là \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4}\). Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \pi \) khi quay quanh trục \(Ox\) là    

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).

b) \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \), \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 1.1 + \left( { - 3} \right)\left( { - 3} \right)} \right|}}{{14}} = 1\). Suy ra \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 90^\circ \).

c) Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) có một điểm chung.

d) Ta có \(M \in \Delta \).

Tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-1-3t\\ 2x+y-3z-1=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-1-3t\\ 2+4t+2+t+3+9t-1=0\end{array}\right.$

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{7}\\y = \frac{{11}}{7}\\z = \frac{2}{7}\\t = - \frac{3}{7}\end{array} \right.\). Suy ra \(N\left( {\frac{1}{7};\frac{{11}}{7};\frac{2}{7}} \right)\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

A là biến cố “Người được xét nghiệm bị bệnh”,

B là biến cố “Người được xét nghiệm có kết quả xét nghiệm dương tính”.

a) \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

b) Theo đề bài ta có \(P\left( A \right) = 1\% = 0,01\).

c) \(P\left( {B|A} \right) = 0,96;P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,92 \Rightarrow P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,92 = 0,08\).

d) Cần tính \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {\overline A |B} \right)\).

Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,01.0,96 + 0,99.0,08 = 0,0888\).

Theo công thức Bayes, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01.0,96}}{{0,0888}} = \frac{4}{{37}}\).

\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,99.0,08}}{{0,0888}} = \frac{{33}}{{37}}\).

Vì \(\frac{4}{{37}} < \frac{{33}}{{37}}\) nên xác suất để người đó bị bệnh nhỏ hơn xác suất để người đó không bị bệnh.