Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành có tâm \(O,AB = 8,SA = SB = 6\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(O\) và song song với \(\left( {SAB} \right)\). Thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là

  

Đáp án B

\(6\sqrt 5 \).

Giải thích

Qua \(O\) kẻ đường thẳng \(\left( d \right)\) song song \(AB\) và cắt \(BC,AD\) lần lượt tại \(P,Q\).

Kẻ \(PN\) song song với \(SB\left( {N \in SB} \right)\), kẻ \(QM\) song song với \(SA\left( {M \in SA} \right)\).

Khi đó \(\left( {MNPQ} \right)//\left( {SAB} \right) \Rightarrow \) thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là tứ giác \(MNPQ\)

Vì \(P,Q\) là trung điểm của \(BC,AD\) suy ra \(N,M\) lần lượt là trung điểm của \(SC,SD\).

Do đó \(MN\) là đường trung bình tam giác \(SCD \Rightarrow MN = \frac{{CD}}{2} = \frac{{AB}}{2} = 4\).

Và \(NP = \frac{{SB}}{2} = 3;QM = \frac{{SA}}{2} = 3 \Rightarrow NP = QM \Rightarrow MNPQ\) là hình thang cân.

Hạ \(NH,MK\) vuông góc với \(PQ\). Ta có \(PH = KQ \Rightarrow PH = \frac{1}{2}\left( {PQ - MN} \right) = 2\).

Tam giác \(PHN\) vuông, có \(NH = \sqrt 5 \).

Vậy diện tích hình thang \(MNPQ\) là \({S_{MNPQ}} = NH.\frac{{PQ + NM}}{2} = 6\sqrt 5 \).