Đáp án:  _____

 

Đáp án

0,96

Giải thích

Đổi biến \(x = {{\rm{e}}^t}\), xét hàm số \(f\left( t \right) = \left( {2{\rm{e}} - {{\rm{e}}^t}} \right)t\)

Ta có \(f'\left( t \right) =  - {{\rm{e}}^t}\left( {t + 1} \right) + 2{\rm{e}},f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {{\rm{e}}^t}\left( {t + 1} \right) = 2{\rm{e\;}}\) (1).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {{\rm{e}}^t}\left( {t + 1} \right)\) có \(g'\left( t \right) = {{\rm{e}}^t}\left( {t + 1} \right) + {{\rm{e}}^t} > 0,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow g\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(g\left( 1 \right) = 2{\rm{e}} \Rightarrow \) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(t = 1\).

Bảng biến thiên:

​

Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = \left( {2{\rm{e}} - {{\rm{e}}^t}} \right)t\) lớn nhất khi \(t = 1 \Leftrightarrow {x_0} = {\rm{e}}\),

khi đó \(P = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{\sqrt[3]{{{\rm{e}}.{\rm{e}}}}}}{{{\rm{e}} + 1}} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{\rm{e}} + 1} \right) = \frac{2}{3}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{e}} = \frac{2}{{3{\rm{ln}}2}} \approx 0,96\).