Số nghiệm của phương trình \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 2{\rm{cos}}3x.{\rm{sin}}x - 2 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là

 

Đáp án

0.

Giải thích

Ta có \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 2{\rm{cos}}3x.{\rm{sin}}x - 2 = 0,x \in \left( {0;\pi } \right)\).

\( \Leftrightarrow 2{\rm{cos}}3x.{\rm{sin}}x = 1 + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x \Leftrightarrow 2{\rm{cos}}3x = {\rm{sin}}x + \frac{1}{{{\rm{sin}}x}}\,\,\left( 1 \right)\)

Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \({\rm{sin}}x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \({\rm{sin}}x\) và \(\frac{1}{{{\rm{sin}}x}}\) ta có

\({\rm{sin}}x + \frac{1}{{{\rm{sin}}x}} \ge 2\sqrt {{\rm{sin}}x.\frac{1}{{{\rm{sin}}x}}} = 2\).

Mặt khác, ta có \(2{\rm{cos}}3x \le 2\) với mọi \(x\).

Vậy (1) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}3x = 1}\\{{\rm{sin}}x = 1}\end{array}} \right.\)

Từ \({\rm{sin}}x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\) (do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\); lúc đó \({\rm{cos}}3x = {\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{2} = 0\). Hệ trên vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).