Cho đường tròn \(\left( {O\,;R} \right)\) có đường kính \[MN.\] Gọi đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm . Lấy điểm \(E\) di động trên đường tròn \[\left( O \right)\]\((E\) không trùng với \(M\) và \(N),\) tia \[ME\] cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(F.\) Kẻ \[OP\] vuông góc với \[ME\] tại điểm \(P\), tia \[PO\] cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(Q\), tia \[FO\] cắt \[MQ\] tại điểm \(D.\)
1) Chứng minh tứ giác \[ONFP\] nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh \(MD \cdot DQ = DO \cdot DF.\)
3) Tìm được bao nhiêu điểm \[E\] trên đường tròn \[\left( O \right)\] để tổng \(MF + 4ME\) đạt giá trị nhỏ nhất?
\[a,{\rm{ }}b,\,\,c\]Bài 5. (0,5 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{{1 + a}} + \frac{{25}}{{25 + 2b}} \le \frac{{4c}}{{4c + 81}}\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a \cdot b \cdot c.\)
Cho đường tròn \(\left( {O\,;R} \right)\) có đường kính \[MN.\] Gọi đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm . Lấy điểm \(E\) di động trên đường tròn \[\left( O \right)\]\((E\) không trùng với \(M\) và \(N),\) tia \[ME\] cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(F.\) Kẻ \[OP\] vuông góc với \[ME\] tại điểm \(P\), tia \[PO\] cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(Q\), tia \[FO\] cắt \[MQ\] tại điểm \(D.\)
1) Chứng minh tứ giác \[ONFP\] nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh \(MD \cdot DQ = DO \cdot DF.\)
3) Tìm được bao nhiêu điểm \[E\] trên đường tròn \[\left( O \right)\] để tổng \(MF + 4ME\) đạt giá trị nhỏ nhất?
\[a,{\rm{ }}b,\,\,c\]Bài 5. (0,5 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{{1 + a}} + \frac{{25}}{{25 + 2b}} \le \frac{{4c}}{{4c + 81}}\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a \cdot b \cdot c.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Ta có \(OP \bot MF;FN \bot MN\) nên \(\widehat {OPF} = 90^\circ ;\,\,\widehat {FNO} = 90^\circ .\) Suy ra \(\widehat {FNO} + \widehat {OPF} = 180^\circ \). Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \[ONFP\] nội tiếp. b) Xét \(\Delta FMQ\) có \(QP,MN\) là đường cao cắt nhau tại \[O\] nên \[O\] là trực tâm suy ra \(FO \bot MQ\) hay \(FD \bot MQ.\) Xét \(\Delta DOM\) và \(\Delta NOF\) có \(\widehat {MOD} = \widehat {NOF}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {ODM} = \widehat {ONF} = 90^\circ .\) Suy ra \(\widehat {OMD} = \widehat {OFN}\). |
![Cho đường tròn ( {O\,;R} \right)\) có đường kính \[MN.\] Gọi đường (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid12-1766247350.png) |
Xét \(\Delta OMD\) và \(\Delta QFD\) có \[\widehat {OMD} = \widehat {OFN}\] và \(\widehat {ODM} = \widehat {FDQ} = 90^\circ .\)
Do đó . Suy ra \(\frac{{OD}}{{QD}} = \frac{{MD}}{{FD}}\) hay \(OD \cdot DF = MD \cdot DQ\) (đpcm).
c) Ta có \[\widehat {MEN} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(NE \bot MF.\)
Xét \(\Delta MEN\) và \(\Delta MNF\) có \[\widehat {NME}\] chung và \(\widehat {MEN} = \widehat {MNF} = 90^\circ .\)
Do đó . Suy ra \(\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MN}}{{MF}}\) hay \(ME \cdot MF = M{N^2}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(MF + 4ME \ge 2\sqrt {MF \cdot 4ME} = 4\sqrt {MF \cdot ME} = 4\sqrt {M{N^2}} = 4.2R = 8R\).
Dấu có khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MF = 4ME}\\{ME \cdot MF = 4{R^2}}\end{array}} \right.\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MF = 4ME}\\{ME \cdot 4ME = 4{R^2}}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ME = R}\\{MF = 4R}\end{array}} \right.\].
Mà trên \(\left( O \right)\) có 2 điểm \[E\] để \(ME = R\).
Vậy có 2 điểm \[E\] để tổng \(MF + 4ME\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Chọn B
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Với \(x \ge 0\,;\,\,x \ne 1\), ta có
\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
\( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
\( = \frac{2}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{2}{{x + 1}}\).
Vậy \(B = \frac{2}{{x + 1}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(4,1\,\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)
B. \(4,25\,\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập