Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và đi qua \(M\left( {2; - 3} \right)\) có phương trình là:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử quỹ đạo của quả bóng là parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y\; = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Gắn hệ trục tọa độ tại các điểm \(x\, = \,0;\,x\, = 1;\,x\, = \,3,5\).\(\)

Theo giả thiết suy ra|C|D|0|2|5| parabol \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;1} \right),\,B\left( {1;6} \right),\,C\left( {3,5;\,9,75} \right)\) ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\a\, + b\, + c\, = 6\\\frac{{49}}{4}a + \frac{7}{2}b\, + c\, = \,9,75\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\b\, = \,6\\a\, = \, - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y\, = \, - {x^2} + 6x\, + 1\).

Ta có \(y\, = \, - {x^2} + 6x + 1\, = \, - {\left( {x - 3} \right)^2} + 10 \le \,10\).

Suy ra độ cao nhất mà quả bóng đạt được là \(10m\).

Ta có: \({x^2} + (m - 2)x + 5m + 1 > 0\)\(,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta  < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 > 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 4\left( {5m + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 24m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,24} \right)\).

Vậy có tất cả \(23\) giá trị thoả mãn.