1. Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) lẻ sao cho \(2{p^4} - {p^2} + 16\)là số chính phương.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(6{x^2} + 7xy + 2{y^2} + x + y - 2 = 0\).

1)Ta có: \({a^2} + {b^2} + 2 = {\left( {a + b} \right)^2}\)

Nên

\(\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) + \frac{6}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}\\ = \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}} + \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}} + \frac{6}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}\\ = \frac{{\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {a + b} \right) + 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6}}{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{a^4} + {b^4} + ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{a^4} + {b^4} + 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

\[\begin{array}{l} = \frac{{\left( {{a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2}} \right) + 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} + 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}^2}}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2} \right)}^2}}}\\ = 1\end{array}\]

2)\(P = \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy - \sqrt {15} \)

Đặt \(\begin{array}{l}M = \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy \Rightarrow {M^2} = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) + {x^2}{y^2} + 2xy\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{y^2} + 1} \\ = 2{x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{y^2} + 1} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {x^2}\left( {{y^2} + 1} \right) + {y^2}\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x\sqrt {{y^2} + 1} .y\sqrt {{x^2} + 1} + 1\\ = {\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2} + 1\end{array}\)

\( = 16 \Rightarrow M = 4\). Vậy \(P = 4 - \sqrt {15} \).

Giả sử \(c = \min \left\{ {a,\,b,\,c} \right\}\). Khi đó :

\(\begin{array}{l}c \le a \Rightarrow {c^2} \le ac \Rightarrow {a^2} + {c^2} \le {a^2} + ac \le {\left( {a + \frac{c}{2}} \right)^2}\\c \le b \Rightarrow {c^2} \le bc \Rightarrow {b^2} + {c^2} \le {b^2} + bc \le {\left( {b + \frac{c}{2}} \right)^2}\\{a^2} + {b^2} \le {\left( {a + \frac{c}{2}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{c}{2}} \right)^2}\end{array}\)

\(VT\left( * \right) \ge \frac{1}{{{{\left( {a + \frac{c}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b + \frac{c}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + \frac{c}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + \frac{c}{2}} \right)}^2}}}\)

Đặt \(x = a + \frac{c}{2};\,y = b + \frac{c}{2}\). Khi đó \(x > 0,\,y > 0\) và \(x + y = a + b + c\).

Ta có \(VT\left( * \right) \ge \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \ge \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} + \frac{3}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} + \frac{3}{{2xy}}\\ = \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{3}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 3.\frac{2}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = VP\left( * \right)\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = b\end{array} \right.\). Do vai trò của \(a,\,b,\,c\) bình đẳng nên dấu “=” của \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau.