(0,5 điểm) Cho một mảnh giấy hình vuông \(ABCD\) cạnh \(6{\rm{ cm}}\). Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là các điểm nằm trên cạnh \(AB,\,\,BC\) sao cho \(AE = 2{\rm{ cm}}\); \(BF = 3{\rm{ cm}}\). Bạn Nam muốn cắt một hình thang \(EFGH\) (hình vẽ) sao cho hình thang đó có diện tích nhỏ nhất. Xác định vị trí của \(G\) (trên \(CD)\) và \(H\) (trên \(AD)\) để bạn Nam có thể thực hiện được mong muốn của mình.

\(\widehat {EAH} = \widehat {GCF} = 90^\circ \) và \(\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\) (dễ dàng chứng minh được từ dữ kiện \(EH\,{\rm{//}}\,GF,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD)\).

Do đó $\Delta AEH\backsim \Delta CGF$ (g.g).

Suy ra \[\frac{{AH}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{CG}}\] hay \[\frac{x}{3} = \frac{2}{y}\], do đó \[xy = 6\] và \[y = \frac{6}{x}\].

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = {6^2} = 36{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích tam giác \(BEF\) là: \({S_{BEF}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left( {6 - 2} \right) = 6{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích hình thang \(EFGH\) là:

\({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - {S_{BEF}} - {S_{AHE}} - {S_{DHG}} - {S_{CGF}} = 30 - \left( {{S_{AHE}} + {S_{DHG}} + {S_{CGF}}} \right)\)

\( = 30 - \left[ {\frac{1}{2} \cdot 2x + \frac{1}{2}\left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right) + \frac{1}{2} \cdot 3y} \right]\)

\( = 30 - \left[ {x + \frac{1}{2}\left( {36 - 6y - 6x + xy} \right) + \frac{3}{2}y} \right]\)

\( = 30 - \left[ {x + 18 - 3y - 3x + \frac{1}{2}xy + \frac{3}{2}y} \right]\)

 \( = 30 - \left[ { - 2x + 18 - \frac{3}{2}y + \frac{1}{2}xy} \right]\)

\[ = 12 + 2x + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}xy\]

\( = 12 + 2x + \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{x} - \frac{1}{2} \cdot 6\) (do \[xy = 6\] và \[y = \frac{6}{x}\]).

\[ = 9 + 2x + \frac{9}{x}.\]

Để \({S_{EFGH}}\) nhỏ nhất thì \(2x + \frac{9}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(2x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{9}{x}} = 6\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2x = \frac{9}{x}\) hay \(2{x^2} = 9\), tức là \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\) Lúc này, \[y = \frac{6}{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 2 .\]

Khi đó, \({S_{EFGH}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là\({S_{EFGH}} = 9 + 2 \cdot \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + \frac{9}{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}} = 9 + 6\sqrt 2 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Vậy điểm \(G \in CD\) và \(H \in AD\) sao cho \(CG = 2\sqrt 2 \), \(AH = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) thì diện tích hình thang \(EFGH\) đạt giá trị nhỏ nhất.