Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(d\)?    

Trả lời: 2

\(\left( {Oxy} \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

\(d\) có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\). Nên \(d \bot \left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(P = d \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {5; - 1;0} \right)\)

Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)\).

\(\widehat {AMB} = 90^\circ \)\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {0^2}} }}{2} = 5.\)

Mà \(M \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) \[ \Rightarrow H\left( {1;2;0} \right)\].

Suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \[H\left( {1;2;0} \right)\], bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\).

Ta có: \(MN \ge MP \ge HP - r = \sqrt {16 + 9} - 3 = 2\).

Vậy \(M{N_{\min }} = 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(N \equiv P\) và \(H,M,P\) thẳng hàng (\(M\) nằm giữa \(H,P\)).

Trả lời: 5,8

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\].

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

\[V = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right){\rm{d}}x} = \left. {{\rm{\pi }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{8}{3}x\sqrt x + 4x} \right)} \right|_4^9 = \frac{{11\pi }}{6} \approx 5,8\].