Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\). Khi đó góc nhị diện \(\left[ {S,BD,A} \right]\) bằng

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) (1).

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BD\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SO\) mà \(AO \bot BD\).

Do đó \(\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}:\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow \widehat {SOA} = 30^\circ \).