Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên \(\left( O \right)\) lấy hai điểm \(C,D\) nằm khác phía đối với \(AB\) và \(CD\) không đi qua \(O\). Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD,F\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC,I\) là trung điểm đoạn thẳng \(EF\). Chứng minh \(IC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Đặt: \(\frac{{2a}}{b} = \frac{{3b}}{c} = \frac{c}{{6a}} = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = bt}\\{b = \frac{c}{3}t = 2a{t^2} \Leftrightarrow 2a = 2a{t^3} \Leftrightarrow t = 1.}\\{c = 6at}\end{array}} \right.\)

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2a}\\{c = 6a}\end{array}} \right.\).

\(P = \frac{{4ac - cb}}{{bc + 2ab}} = \frac{{4a.6a - 6a.2a}}{{2a.6a + 2a.2a}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và \(\left( d \right):y = \left( {7 - m} \right)x + 3m - 3\) là: \(2{x^2} = \left( {7 - m} \right)x + 3m - 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {7 - m} \right)x + 3 - 3m = 0\)

\({\rm{\Delta }} = {\left( {7 - m} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 3m} \right) = {m^2} - 14m + 49 - 24 + 24m\)

\( = {m^2} + 10m + 25 = {\left( {m + 5} \right)^2} \ge 0,\forall m \in \mathbb{R}\).

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt thì \({\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow m \ne  - 5\).

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{7 - m - m - 5}}{4} = \frac{{ - 2m + 2}}{4} = \frac{{ - m + 1}}{2}\)

\({x_2} = \frac{{7 - m + m + 5}}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\).

Yêu câu bài toán \( \Leftrightarrow \frac{{ - m + 1}}{2} < 4 \Leftrightarrow  - m + 1 < 8 \Leftrightarrow  - m\left\langle {7 \Leftrightarrow m} \right\rangle  - 7\).

Vậy tập các giá trị nguyên âm thoả yêu cầu bài toán của \(m\) là: \(\left\{ { - 6; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\)