Với \(a\) là số thực dương khác \(1\), \({\log _{{a^2}}}\left( {a\sqrt a } \right)\) bằng        

(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a\).

a) Chứng minh \(BC\) vuông góc với \[SB\].

b) Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).

(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], góc giữa \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ \], \[M\] là trung điểm của \[AB.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SM{\rm{ v\`a }}BC\].

III. Lời giải chi tiết tự luận

(1,0 điểm)

a) Cho \({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).

b) Năm 2020, dân số thế giới là 7,795 tỉ người và tốc độ tăng dân số 1,05%/năm. Nếu tốc độ tăng này tiếp tục duy trì ở những năm tiếp theo thì dân số thế giới sạ \(t\) năm kể từ năm 2020 được tính bởi công thức:

\(P\left( t \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^t}\) (tỉ người).

Khi đó, hãy tính dân số thế giới vào năm 2025 và vào năm 2030.