Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3}  + 1 = 2x\).

Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3}  + 1 = 2x\)\( \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 5x - 3}  = 2x - 1\).

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3}  = 2x - 1\) ta được:

\(2{x^2} + 5x - 3 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 = 4{x^2} - 4x + 1\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Xét phương trình  (*) có:

\(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.2.4 = 49 > 0\)

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {49} }}{{2.2}} = 4\);

\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {49} }}{{2.2}} = \frac{1}{2}\).

Thay \(x = 4\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3}  = 2x - 1\) ta thấy giá trị \(x = 4\) thỏa mãn là một nghiệm của phương trình.

Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5x - 3}  = 2x - 1\) ta thấy giá trị \(x = \frac{1}{2}\) thỏa mãn là một nghiệm của phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{1}{2};4} \right\}\).