Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(ABCD\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng đáy là đoạn nào trong các đoạn thẳng sau:

a)

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \[BD \bot SA\], lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \[BD \bot AC\].

Từ đó suuy ra \[BD \bot \left( {SAC} \right)\].

Ta chứng minh được \[IK\] là đường trung bình của tam giác \[BCD\] nên \[IK{\rm{//}}BD\].

Do đó, \[IK \bot \left( {SAC} \right)\].

b)

Ta có \[\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\], \[AO \bot BD\], \[BD \bot SA \Rightarrow SO \bot BD\].

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[\widehat {AOS}\] .

Ta có \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 \).

Vì tam giác \[SAO\] vuông tại \[A\] \[ \Rightarrow \tan \widehat {AOS} = \frac{{SA}}{{AO}} = 1 \Rightarrow \widehat {AOS} = 45^\circ \].

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \].

Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Gọi \(O = AC \cap BD\).

Theo giả thiết ta có \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\].

Ta có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3a\).

Khi đó, \(CH = \frac{2}{3}CO = \frac{1}{3}AC = a \Rightarrow AH = AC - HC = 2{\rm{a}}\).

Ta có \[AH\] là hình chiếu vuông góc của \[SA\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] nên góc giữa \[SA\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \(\widehat {SAH}\)\( \Rightarrow \widehat {SAH} = 45^\circ \)\( \Rightarrow SH = AH = 2a\).

Kẻ đường thẳng \(a\) đi qua \(D\) và song song với \(AC\) \( \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SD,\,a} \right)\).

\[ \Rightarrow {\rm{d}}\left( {{\rm{AC, SD}}} \right) = {\rm{d}}\left( {{\rm{AC,}}\,\left( {{\rm{SD,a}}} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {{\rm{H,}}\left( {{\rm{SD,a}}} \right)} \right)\].

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \(HK\) vuông góc với \(a\), trong \[\left( {SHK} \right)\] kẻ \(HI \bot SK\).

Suy ra \(a \bot HI \Rightarrow HI \bot \left( {SD,\,a} \right) \Rightarrow d\left( {H,\,\left( {SD,a} \right)} \right) = HI\).

Gọi \({\rm{E}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{AB}} \cap {\rm{DK}}\). Trong \(\Delta AED\) kẻ \(AP \bot ED\), khi đó ta có:

\(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{9}{{8{a^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{9}{{8{a^2}}}\)

Trong \(\Delta SHK\), ta có: \(\frac{1}{{{\rm{H}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{{\rm{H}}{{\rm{K}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{1}{{{\rm{S}}{{\rm{H}}^{\rm{2}}}}} = \frac{9}{{8{{\rm{a}}^2}}} + \frac{1}{{4{{\rm{a}}^2}}} = \frac{{11}}{{8{{\rm{a}}^2}}} \Rightarrow {\rm{HI}} = \frac{{2{\rm{a}}\sqrt {22} }}{{11}}\)

\( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {AC,SD} \right) = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}.\)