Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có độ dài \(BD' = 3\sqrt 3 \). Thể tích của khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] là        

a) Ta có \({4^x} - {2^{x + 2}} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 4 \cdot {2^x} + 3 = 0\).

Đặt \(t = {2^x},t > 0\). Phương trình trở thành \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _2}3\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;\,\,{{\log }_2}3} \right\}\).

b) Điều kiện xác định: \[5 - {2^x} > 0 \Leftrightarrow x < {\log _2}5\].

Ta có \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\).

Đặt \[t = {2^x}\] (\[t > 0\]).

Khi đó phương trình \((1)\) trở thành \(5 - t = \frac{4}{t} \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 4\end{array} \right.\).

+) Với \[t = 1\] ta có \[{2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\].

+) Với \[t = 4\] ta có \[{2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2\].

Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực \({x_1} = 0\) và \({x_2} = 2\).

Khi đó \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1} \cdot {x_2} = 0 + 2 + 0 \cdot 2 = 2\).

a)

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \[BD \bot SA\], lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \[BD \bot AC\].

Từ đó suuy ra \[BD \bot \left( {SAC} \right)\].

Ta chứng minh được \[IK\] là đường trung bình của tam giác \[BCD\] nên \[IK{\rm{//}}BD\].

Do đó, \[IK \bot \left( {SAC} \right)\].

b)

Ta có \[\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\], \[AO \bot BD\], \[BD \bot SA \Rightarrow SO \bot BD\].

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[\widehat {AOS}\] .

Ta có \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 \).

Vì tam giác \[SAO\] vuông tại \[A\] \[ \Rightarrow \tan \widehat {AOS} = \frac{{SA}}{{AO}} = 1 \Rightarrow \widehat {AOS} = 45^\circ \].

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \].