Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^x} - 27} \right)\left( {\log _3^2x - 7{{\log }_3}x + 10} \right) < 0\)?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x > 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 27 > 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 10 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} > 27\\2 < {\log _3}x < 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\9 < x < 243\end{array} \right. \Leftrightarrow 9 < x < 243\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {10;11;12;...;242} \right\}\)\( \Rightarrow \) có 233 số nguyên thỏa mãn.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 27 < 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 10 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x > 5\\{\log _3}x < 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\\left[ \begin{array}{l}x > 243\\x < 9\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x < 3\).

Mà \(x > 0\) nên \(0 < x < 3\).

Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)\( \Rightarrow \) có 2 số nguyên.

Vậy có tất cả 235 số nguyên \(x\) thỏa mãn.