Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BDA'} \right)\).

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}AO \bot BD\\AA' \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {AOA'} \right)\).

Kẻ \(AH \bot A'O\) tại \(H\).

Vì \(BD \bot \left( {AOA'} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot AH\) mà \(AH \bot A'O\) nên \(AH \bot \left( {BDA'} \right)\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {BDA'} \right)} \right) = AH\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 1 nên \(AC = \sqrt 2  \Rightarrow AO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta A'AO\) vuông tại \(A\), có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = 1 + 2 = 3 \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)